Центр окружности, касающейся катетов прямоугольного треугольника, лежит нагипотенузе. Найти радиус окружности, если он в 7 раз меньше суммы катетов, аплощадь треугольника равна 56.

Прямоугольный треугольник . Пусть Х - радиус окружности.  А - 1й катет.  В - 2й катет 7Х=А+В Если из центра окружности опустить перпендикуляры на катеты , то они разделят треугольник на 3 части  Площадь квадрата - Х в кварате.  Площадь первого треугольника - одна сторона равна радису Х, вторая А-Х.  Т.е. плащадь Х*(А-Х)/2 Площадь второго треугольника - одна сторона равна радису Х, вторая В-Х. Т.е. плащадь Х*(В-Х)/2  Составляем уравнение:. Площадь всего треугольника равна:Х в квадрате+Х(А-Х)/2+Х(В-Х)/2=56 раскрываем скобки, сокращаем и получается:  (А+В)Х=112А+В=7Х, т. е. 7Х*Х=112  Х в квадрате=16 Х равен 4. Ответ: х=4.