Центр окружности, описанной около трапеции, делит ее высоту в отношении 3:4. Найти основания трапеции, ели радиус равен 10, и ее средняя линия равна высоте

Для начало выведем некие следствия, пусть  наши основания большее и меньшее соответственно равны [latex]b,c[/latex]. Пусть высота [latex]h[/latex] тогда по условию  [latex] \frac{b+c}{2}=h\\ [/latex] . Заметим что из условия следует что трапеция РАВНОБЕДРЕННАЯ , так как только около нее можно описать окружность . Следовательно обозначим боковые стороны как [latex]a[/latex] , диагонали у трапеции равны [latex]d_{1}=d_{2}=d[/latex]. Как известно у равнобедренной трапеций если высота равна средней линий , то  диагонали будут взаимно перпендикулярны. Далее мы будем использовать этот факт . Тогда с одной стороны площадь трапеций равна  [latex]S=\frac{d*d*sin90}{2}=\frac{d^2}{2}[/latex] , с другой стороны  [latex]S=\frac{b+c}{2}*h=h*h=h^2[/latex] из чего следует  [latex]d^2=2h^2\\ d=\sqrt{2}h[/latex]     Рассмотрим треугольник [latex]BCD[/latex] радиус описанной около этого треугольника , будет равен радиусу описанного около трапеций [latex]ABCD[/latex] .  Площадь треугольника [latex]S_{BCD}=\frac{c*h}{2}[/latex] , так как у нас центр окружности делить нашу высоту в отношений [latex]3:4[/latex] (как вы сказали от большего) то обозначим соотношения как [latex]3x;4x[/latex]. Тогда высота трапеций и треугольника будет равна [latex]h=7x[/latex] . Значит площадь треугольника   [latex]S_{BCD}=\frac{7x*c}{2}[/latex]. Как известно по формуле [latex]R=\frac{abc}{4R}[/latex] вычислим наш радиус  [latex]R=\frac{7x\sqrt{2}*a*c}{4*\frac{7x*c}{2}}=10\\ a=\frac{20}{\sqrt{2}}[/latex] . Теперь можно поступить так  1) По теореме Пифагора выразим радиус , зная отношения  2) Выразим радиус по формуле [latex]R=\frac{adc}{4\sqrt{p(p-a)(p-d)(p-c)}}[/latex]  1)[latex](\frac{c}{2})^2+(3x)^2=10^2[/latex]  2) если все подставить перейдем на такое уравнение      [latex]R=\frac{140cx}{\sqrt{-98x^2+280x+c^2-200}\sqrt{98x^2+280x-c^2+200}}[/latex] оно равна 10  1)[latex] c^2=400-36x^2\\ [/latex] подставляя во второе уравнение  [latex]\frac{140x\sqrt{400-36x^2}}{\sqrt{-98x^2+280x+400-36x^2-200}\sqrt{98x^2+280x-400+36x^2+200}}=10[/latex] откуда решая это уравнение получаем  [latex]x=2[/latex]  тогда основание нижнее равна      [latex]c=\sqrt{400-36*4}=16\\ \frac{b+16}{2}=14\\ b+16=28\\ b=12[/latex] Ответ основания равны  16 и 12