У'=(2у+1)*ctgx, при у=1/2, x=п/4

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными с начальным условием [latex] \frac{dy}{dx}=(2y+1)\,{\rm ctg}\,x ;\, \frac{dy}{2y+1}={\rm ctg}\,x\,dx ;\,\int\frac{dy}{2y+1}=[latex]\frac{1}{2}\ln|2y+1|=\ln|\frac{C}{\cos x}|;\, \sqrt{2y+1}=\frac{C}{\cos x} [/latex]\int{\rm ctg}\,x\,dx ;\,[/latex] константу С находим по начальному условию [latex] \sqrt{2} = \frac{2C}{ \sqrt{2} };\, 2C=2;\, C=1[/latex] то есть решение будет иметь вид  [latex]\sqrt{2y+1}=\frac{1}{\cos x}[/latex]