Углы [latex] \alpha [/latex] и [latex] \beta [/latex] положительные, острые:[latex]cos \alpha = \frac{1}{7} [/latex]; [latex]cos( \alpha + \beta )=- \frac{11}{14} [/latex]Найдите значение cos[latex] \beta [/latex]

По формуле суммы аргументов косинуса: [latex]cos( \alpha + \beta )=cos \alpha *cos \beta -sin \alpha *sin \beta [/latex] Выразим [latex]cos \beta [/latex] [latex]cos \beta = \frac{cos( \alpha + \beta )+sin \alpha *sin \beta }{cos \alpha } [/latex] Необходимо найти синусы углов. Т.к. α и β - положительные и острые, значит они находятся в 1 четверти, где синус и косинус положительные. Найдем синусы из основного тригонометрического тождества: [latex]sin \alpha = \sqrt{1-cos^{2} \alpha }[/latex] [latex]sin \beta = \sqrt{1-cos^{2} \beta}[/latex] [latex]sin \alpha = \sqrt{1- \frac{1}{49} }= \sqrt{ \frac{48}{49} } = \frac{ \sqrt{48}}{7} [/latex] [latex]cos \beta = \frac{- \frac{11}{14} + \frac{ \sqrt{48}}{7}* \sqrt{1-cos^{2} \beta}}{ \frac{1}{7} } =- \frac{7*11}{14} + \frac{7* \sqrt{48}}{7}*\sqrt{1-cos^{2} \beta} =[/latex][latex]- \frac{11}{2} + \sqrt{48}* \sqrt{1-cos^{2} \beta } [/latex] Перенесем слагаемые так, чтобы слева остался квадратный корень, а справа - все остальное: [latex] \sqrt{48*(1-cos^{2} \beta) } =cos \beta + \frac{11}{2}[/latex] Возведем обе части в квадрат (можно сделать, т.к. обе части неотрицательные): [latex]48*(1-cos^{2} \beta )=cos^{2} \beta +11cos \beta + \frac{121}{4}[/latex] [latex]48*-48cos^{2} \beta- cos^{2} \beta -11cos \beta - \frac{121}{4}=0[/latex] [latex]-49cos^{2} \beta -11cos \beta + \frac{71}{4}=0[/latex] - домножим обе части на -4 [latex]196cos^{2} \beta +44cos \beta -71=0[/latex] Замена: cosβ=t∈[0;1] [latex]196t^{2}+44t-71=0, D=57600=240^{2}[/latex] [latex] t_{1} = \frac{-44+240}{2*196} = \frac{1}{2} [/latex] [latex] t_{2}<0 [/latex] - посторонний корень. Ответ: cosβ=0.5