Уравнения и системы уравений

Пусть функции  и  определены на некотором множестве . Поставим задачу: найти множество , на котором эти функции принимают равные значения, другими словами, найти все значения , для которых выполняется равенство: =.           При такой постановке это равенство называется уравнением с неизвестным .           Уравнение называется алгебраическим, если в нем над неизвестным выполняются только алгебраические операции – сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня с натуральным показателем.           Множество  называется множеством (областью) допустимых значений неизвестного для данного уравнения.           Множество  называется множеством решений, а всякое его решение  - корнем данного уравнения Решить уравнение, – значит, найти множество всех его решений или доказать, что их нет. Уравнения, имеющие одни и те же корни, называются равносильными. Основная теорема алгебры: всякое целое алгебраическое уравнение степени  в области комплексных чисел имеет  корней. Основные правила преобразования уравнения в равносильное ему: ·        Какое-нибудь слагаемое можно перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком; ·        Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и тоже отличное от нуля число; ·        Если уравнение имеет вид , то деление обеих его частей на , как правило, недопустимо, поскольку может привести к потере корней; в этом случае могут быть потеряны корни уравнения =0, если они существуют; ·        Уравнение вида  можно заменить равносильной системой  или решить уравнение =0, а затем отбросить те из найденных корней, которые обращают в нуль знаменатель ; ·        Уравнение считается решенным неверно как в случае, когда ответ содержит посторонние корни, так и в случае, когда в процессе решения был потерян хотя бы один корень. Теорема о неэквивалентности уравнений: Если функции  и  имеют общую область определения, то уравнения = и 2=2 не обязательно являются эквивалентными в этой области. Теорема об эквивалентности уравнений: Если функции  и  имеют общую область определения  и для каждого значения переменной из области  эти функции принимают неотрицательные значения, то уравнения = и 2=2 являются эквивалентными области .