В бесконечно убывающей геометрической прогрессии b1=3 и q=1/3.Найти сумму этой прогрессии

Искомая сумма [latex]S[/latex] равна: [latex]S = b_1 + b_2 + b_3 + \dots = b_1 + q b_1 + q^2 b_1 + \dots = b_1 \left(1+q + q^2 + \dots \right)[/latex]. Поэтому решение задачи свелось к нахождению суммы [latex]s = 1 + q + q^2 + \dots[/latex], формулой для которой можно воспользоваться в готовом виде, но полезнее уметь её выводить каждый раз, когда она оказывается нужна. Итак, выводим формулу для [latex]s[/latex]. Рассмотрим для начала сумму первых членов [latex]s_n = 1 + q + q^2 + \dots + q^n[/latex]. Имеем: [latex](1-q)s_n = (1-q)(1 + q + q^2 + \dots + q^n) = 1 + q + q^2 + \dots + q^n - q - q^2 - \dots - q^n - q^{n+1} = 1 - q^{n+1}[/latex]. Таким образом, [latex]s_n = \frac{1 - q^{n+1}}{1 - q}[/latex], откуда, переходя к пределу при [latex]n \rightarrow \infty[/latex], получаем [latex]s = \lim_{n \rightarrow \infty} s_n = \frac{1}{1 - q}[/latex]. Предел существует при [latex]\left|q\right|<1[/latex]. Итак, искомая сумма равна: [latex]S = b_1 (1 + q + q^2 + \dots) = b_1 s = \frac{b_1}{1-q} = \frac{3}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{9}{2} = 4,5 [/latex]