В квадрате АВСД точка К - середина стороны ВС, точка М - серидина стороны АВ. Докажите, что прямые АК и МД перпендикулярны, а треугольники АЕМ (Е - точка пересечения прямых АК и МД) и АВК подобны.

Через точку М проведем прямую, перпендикулярную MD до пересечения с ВС (точка H). Тогда угол HМВ равен углу MDA, поскольку стороны у этих углов попарно перпендикулярны. Но угол MDA равен углу ВАК, поскольку треугольники АКВ и AMD равны (по 2 сторонам и углу - прямому - между ними, АВ=АD, BK=AM). Поэтому угол ВМH равен углу ВАК. Поэтому МH II АК. Поэтому АК тоже перпендикулярна MD (как и МН). чтд Что касается прямоугольных (только что доказали!) треугольников АЕМ и АВК, то они очевидно подобны - у них есть общий угол ВАК.    

Треугольники АВК и АМД равны по двум сторонам и прямому углу между ними. Угол ВКА=углу АМД, угол АДМ=ВАК Сумма углов МДА и АМД равны 90 градусов. Рассмотрим треугольник МЕА. Угол АМЕ=АМД, угол МАЕ=АДМ. И в сумме они дают 90 градусов. Отсюда угол МЕА = 90 градусов, т.к. сумма углов треугольника равна 180 градусов. Треугольники АЕМ и АВК подобны по трем углам. Хотя для прямоугольных треугольников достаточно одного равного острого угла.