В окружность радиуса 11 вписан квадрат, в который также вписана окружность. Во внутреннюю окружность вписан прямоугольный треугольник с тангенсом одного из углов, равным 7. Найдите площадь этого треугольника.

Опять задачка для устного счета :)) Если квадрат вписан в окружность, то диагональ его - диаметр, значит сторона равна диаметру, деленному на корень(2), или (то же самое) радиусу, УМНОЖЕННОМУ на корень из 2. То есть 11*корень(2). Диаметр окружности, вписаной в квадрат, равен стороне. А гипотенуза прямоугольного треугольника, вписанного в эту окружность, равна диаметру. То есть опять же стороне квадрата. Итак, у нас есть прямоугольный треугольник с гипотенузой c = 11*корень(2) и отношением катетов 1/7. Надо найти площадь. :))) Ну, красивого ответа тут не получится. Однако корни уйдут. Если малый катет а, то большой 7*а, a^2 + (7*a)^2 = c^2 = 2*11^2;  50*a^2 = 2*11^2; a = 11/5; Второй катет 77/5, а площадь  S = 77*11/(2*5*5) = 16,94;  Это ответ, причем не приближенный, а точный.