В окружности с радиусом= корень из 6ти проведена хорда MN и диаметр MP. В точке N проведена касательная к окружности,которая пересекает продолжение отрезка MP в точке Q под углом 60градусов. Найти медиану QD в треугольнике MQN.

Пусть O — центр окружности. Предположим, что точка Q лежит на продолжении диаметра MP за точку P. Из прямоугольного треугольника ONQ находим, что  QN = ON· ctg60 =[latex] \sqrt{6} [/latex] ·[latex] \sqrt{3} /3[/latex] = [latex] \sqrt{2} [/latex], OQ=2NQ =2.  Тогда QM=MO+OQ=[latex] \sqrt{6} [/latex]+2[latex] \sqrt{2} [/latex]. По теореме о внешнем угле треугольника   MON =90+60 =150 градусов По теореме косинусов из равнобедренного треугольника MON находим, что  MN2= OM2+ON2-2OM· ON cos150=6+6+2·6· [latex] \sqrt{3} /2[/latex]=12+6[latex] \sqrt{3} [/latex].  По формуле для медианы треугольника  QD2=1/4 (2QN2+2QM2-MN2)= 1/4(2·2+2([latex] \sqrt{6} [/latex]+2[latex] \sqrt{2} [/latex])2-12-6[latex] \sqrt{3} [/latex])=1/4(20+10[latex] \sqrt{3} [/latex]).  Следовательно,  QD = 1/2 [latex] \sqrt{20+10 \sqrt{3} }[/latex]=[latex] \sqrt{5+5 \sqrt{3}/2 } [/latex]