В основании пирамиды лежит треугольник со сторонами 3√3, 11 и углом в 30° между ними. Все боковые ребра =8. Найти объем пирамиды

Объем пирамиды вычисляется по формуле   [latex]V=\frac{1}{3}S_{osnovani}*h\quad(**)[/latex]   В данном случае площадь основания пирамиды вычислить легко по формуле площади треугольника   [latex]S_{osnovani}=\frac{1}{2}*3\sqrt{3}*11*\sin 30^\circ[/latex]   [latex]S_{osnovani}=\frac{3\sqrt{3}*11}{4}[/latex]   Теперь надо найти высоту пирамиды. Сделать это непросто. Так как нужно узнать: где находится основание высоты пирамиды.   Пусть SO - высота пирамиды. АВС - треугольник в основании пирамиды. Рассмотрим 3 треугольника SOA, SOB, SOC. Все эти треугольники прямоугольные. Так как SO перпендикулярно плоскости основания, а значит перпендикулярно любой прямой в плоскости основания. Далее, SO - общий катет этих прямоугольных треугольников. SA=SB=SC=8 - по условию задачи. Значит эти треугольники равны по катету и гипотенузе. Поэтому другие катеты равны тоже между собой OA=OB=OC. Точка О - является центром описанной окружности. Так как расстояние от точки до любой вершины треугольника АВС одно и то же. Найти радиус описанной окружности можно по разным формулам. Можно воспользоваться следующей формулой   [latex]R=\frac{abc}{4S}\quad(*)[/latex]   Здесь a, b, и c - стороны треугольника АВС.   Две стороны нам известны. Надо найти третью сторону треугольника АВС.   Найдем ее по теореме косинусов   [latex]c^2=a^2+b^2-2*a*b*\sin 30^\circ[/latex]   [latex]c^2=11^2+(3\sqrt{3})^2-2*11*3\sqrt{3}*\cos 30^\circ[/latex]   [latex]c^2=121+27-2*11*3\sqrt{3}*\frac{\sqrt{3}}{2}[/latex]   [latex]c^2=121+27-11*3\sqrt{3}*\sqrt{3}[/latex]   [latex]c^2=121+27-11*3*3[/latex]   [latex]c^2=121+27-99[/latex]   [latex]c^2=22+27[/latex]   [latex]c^2=49[/latex]   [latex]c^2=7^2[/latex]   c=7   Значит третья сторона треугольника равна 7.   Подставляем в формулу (*)   [latex]R=\frac{3\sqrt{3}*11*7}{4\frac{33\sqrt{3}}{4}}[/latex]   [latex]R=\frac{3\sqrt{3}*11*7}{33\sqrt{3}}[/latex]   [latex]R=\frac{3*11*7}{33}[/latex]   [latex]R=7[/latex]   Нашли катет прямоугольного треугольника, образованного высотой пирамиды, боковым ребром и стороной, лежащей в основании пирамиды.   Теперь нам известны гипотенуза прямоугольного треугольника (это боковое ребро пирамиды 8), катет (это радиус описанной окружности треугольника АВС, 7). Осталось найти другой катет (высоту пирамиды). По теореме Пифагора   [latex]h^2=8^2-7^2[/latex]   [latex]h^2=64-49[/latex]   [latex]h^2=15[/latex]   [latex]h=\sqrt{15}[/latex]   Подставим известные значения в формулу (**)   [latex]V=\frac{1}{3}*\frac{33\sqrt{3}}{4}*\sqrt{15}[/latex]   [latex]V=\frac{11\sqrt{3}}{4}*\sqrt{15}[/latex]   [latex]V=\frac{11\sqrt{3}\sqrt{3}\sqrt{5}}{4}[/latex]   [latex]V=\frac{33\sqrt{5}}{4}[/latex]   Ответ:   [latex]V=\frac{33\sqrt{5}}{4}[/latex]