В основании пирамиды лежит треугольник со сторонами 5, 6 та 8 см, а все боковые ребра пирамиды наклонены к плоскости основания под углом 45°. Вычислите объём пирамиды

Как всегда, если ребра пирамиды равнонаклонены к основанию, то вершина пирамиды равноудалена от вершин основания и проектируется в центр описанной вокруг основания окружности. Угол наклона 45 градусов, поэтому высота пирамиды равна радиусу описанной вокруг основания окружности (высота пирамиды, боковая сторона и этот радиус образуют равнобедренный прямоугольный треугольник). Таким образом, кажется, что для решения задачи надо вычислить радиус описанной окружности для треугольника со сторонами 5,6 и 8. Однако все оказывается проще :)) Есть способ, не затрагивающий извилин - вычислить площадь основания по формуле Герона (все равно площадь нам нужна для вычисления объема), а затем радиус по известной формуле R = abc/4S. Этот способ ничем не плох, если вы умеете эти формулы (включая Герона) выводить. Но в данном случае задача очень упрощается - дело в том, что нам надо вычислить не радиус, а объем пирамиды, равный, как мы уже поняли  V = R*S/3; (не забыли, высота пирамиды равна R :)))) Отсюда V = abc/12; :)))))))) Ответ V = 20;