В отделе 8 сотрудников. Вероятность того, что каждый из них вовремя доберется до места работы, составляет 0,75. С какой вероятностью к началу рабочего дня на рабочих местах будут 4 сотрудника, не менее 6, хотя бы один опоздает.

Для начала выберем сотрудников, которые прибудут на рабочее место прямо к началу дня. Это можно сделать числом способов, равным числу сочетаний из 8 по 4, а именно [latex] \frac{8!}{4!*4!} = \frac{5*6*7*8}{4*3*2} = 70 [/latex]. 4 работника прибудут вовремя, для каждого вероятность [latex] \frac{3}{4} [/latex], то есть для 4 вместе вероятность будет [latex]( \frac{3}{4} )^{4} [/latex] (по формуле перемножения вероятностей для независимых событий), а четверо других должны опоздать с вероятностью [latex] ( \frac{1}{4} )^{4} [/latex], то есть общая вероятность равна [latex] \frac{70* 3^{4} }{ 4^{8} } = 0.087[/latex].  Для не менее 6 воспользуемся теми же рассуждениями, только посчитаем, что должны прийти ровно 6, ровно 7, ровно 8, и вероятности сложить Для 6. [latex] \frac{28* 3^{6} }{ 4^{8} } = 0.311[/latex] Для 7. [latex] \frac{8* 3^{7} }{ 4^{8} } = 0.267[/latex] Для 8. [latex] \frac{ 3^{8} }{ 4^{8} } = 0.1[/latex] То есть сумма равна 0.678 Вероятность, что придут все равна 0.1, то есть то что один опоздает - это вероятность того, что все не придут, то есть 1 - 0.1 = 0.9