В полушар радиуса R = 8 вписана правильная треугольная призма так, что одно ее основание принадлежит плоскому основанию полушара, а все вершины другого основания призмы расположены на сферической поверхности полушара. Укажите н...

Сечение полушара плоскостью "другого" основания - это (само собой) окружность, причем это окружность, описанная вокруг правильного треугольника, который является этим основанием. Радиус этого сечения r, высота призмы h (то есть расстояние от центра шара до плоскости сечения) и радиус шара R = 8 связаны теоремой Пифагора, то есть r^2 = R^2 - h^2;  Сторона правильного треугольника связна с радиусом описанной окружности известным элементарным соотношением  r^2 = a^2/3; а площадь S основания призмы равна S = a^2*√3/4 = r^2*3√3/4 = (3√3/4)*(R^2 - h^2); Объем, само собой, равен V = S*h = (3√3/4)*(R^2 - h^2)*h; В точке экстремума  V'(h) = (3√3/4)*(R^2 - 3*h^2) = 0; то есть h = R/√3; Поскольку V(h) = 0; при h = 0 и h = R; V(h) > 0 при 0 < h < R; и экстремум только один, то экстремум - это максимум. Значение V в точке максимума равно V = R^3/2;