В правильном тетраэдра dabc ребра равны а. М - точка пересечения Мелиан грани bdc, а Е - середина ребра AD. Найти расстояние. EM , доказать, что PK перпенд AD, где P и K - середины DC и DB соответственно. Задача на векторы и ко...

[latex]\vec{PK}=\vec{DK}-\vec{DP}=\frac{1}{2}\vec{DB}-\frac{1}{2}\vec{DC}\\ \vec{PK}*\vec{DA}=\frac{1}{2}\vec{DB}*\vec{DA}-\frac{1}{2}\vec{DC}*\vec{DA}=\\=\frac{1}{2}a^2*\cos\frac{\pi}{3}-\frac{1}{2}a^2*\cos\frac{\pi}{3}=0\Rightarrow \vec{PK}\perp \vec{DA}[/latex] [latex]\vec{EM}=\vec{DM}-\vec{DE}=\frac{1}{3}\vec{DC}+\frac{1}{3}\vec{DB}-\frac{1}{2}\vec{DA}\\|\vec{EM}|^2 = \frac{1}{9}|\vec{DB}|^2+\frac{1}{9}|\vec{DC}|^2+\frac{1}{4}|\vec{DA}|^2+\\+\frac{2}{9}|\vec{DC}|*|\vec{DB}|-\frac{1}{3}|\vec{DC}|*|\vec{DA}|-\frac{1}{3}|\vec{DB}|*|\vec{DA}|=\\=\frac{1}{9}a^2+\frac{1}{9}a^2+\frac{1}{4}a^2+\frac{1}{9}a^2-\frac{1}{3}a^2=\frac{a^2}{4}\\|\vec{EM}|=\frac{a}{2}[/latex]