В  правильной  четырехугольной  призме  ABCDA1B1C1D1   сторона  основания  AB   равна  6,  а  боковое  ребро  AA1   равно  4 корень из 3 .  На  ребрах  AB, A1D1 и C1D1 отмечены точки  M , N  и  K  соответственно, причем  1 =A...

 Плоскости оснований  призмы параллельны. Следовательно,  плоскость MNK пересекает их по параллельным прямым ( свойство), и МL параллельно NK.  ВМ=ND1=KD1=5. Треугольник ND1K равнобедренный,  ⇒ NK=ND1:sin45°=5√2 ( или по т.Пифагора). Аналогично ML=5√2  а) Опустим из N перпендикуляр NH на АD. AH=A1N=1, треугольник МАН равнобедренный – MH=√2.   NH=AA1=4√3 – из прямоугольного ∆ МНN  гипотенуза MN=(√(NH²+MH²)=√50=5√2 ⇒ MNKL - ромб.  Треугольник АМН равнобедренный, MBL- равнобедренный, ⇒ ML ║АС,  МН ⊥ АС ⇒ HM⊥ML. По т. о 3-х перпендикулярах MN ⊥ML. Аналогично КL перпендикулярна ML. ⇒ углы MNKL прямые, он - квадрат.  б) Продлим ML  в обе стороны до пересечения с прямыми . DA и DC в точках Р и Е соответственно.  Точки N и Р принадлежат плоскости АА1В1В, их можно соединить. Точки К и Е принадлежат плоскости DD1C1D, соединим их. Плоскость NPЕК  пересечет АА1 в точке Т, а СС1 в точке R.   Соединим Т с N и М, R с К и L. Шестиугольник MTNKRL  - сечение, площадь которого надо найти. Искомая площадь состоит из суммы площадей квадрата MNKL и площадей треугольников MTN и KRL. Рассмотрим прямоугольный ∆ РАМ. Он подобен равнобедренному прямоугольнику МВL, следовательно, РА=АМ=1. ∆ ATP=∆ A1TN по катету и острому вертикальному углу при вершине Т. Следовательно, Т – середина АА1. AM=A1N, ⇒ ∆ АМT=∆ A1NT, откуда следует МТ=NT. Аналогично  R – середина СС1, и KR=LR.  S ∆ PMN=S ∆ KLE = NM•PМ:2 Треугольник РАМ равнобедренный, след. РМ=АМ:sin45°=√2 S PMN=5√2•√2=5 Так как МТ - медиана, площадь треугольника MTN=5:2, а сумма площадей  равных ∆ MTN и ∆ KRL равна 5  SMNKL=(5√2)²=50  S MTNKRL= 50+5=55 (ед площади).