В правильной треугольной пирамиде плоский угол при вершине равен 30 градусов, а кратчайшее расстояние между боковым ребром и противоположной стороной основания равно 3 см. Найдите объём этой пирамиды.   (ЖЕЛАТЕЛЬНО С ЧЕРТЕЖОМ)  

 правильная пирамида - все углы равны и стороны равны.Таким образом, задан тетраэдр.   плоский угол при вершине - угол между двумя ребрами.   Пусть боковая сторона равна а. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, образованный боковой стороной тетраэдра, её проекцией на основание и высотой пирамиды.   Ясно, что основание высоты равноудалено от вершин основания, то есть проекция бокового ребра на основание есть радиус R описанной окружности вокруг треугольника со стороной а, т. е. R =[latex]\frac{a\sqrt{3}}{3}[/latex];   Заданный отрезок длины 3 является в построенном прямоугольном треугольнике МЕДИАНОЙ, то есть равен половине гипотенузы. А роль гипотенузы играет боковое ребро. Поэтому а = 6    Площадь правильного треугольника со стороной 6 равна [latex]\frac{a^{2}\sqrt{3}}{4}[/latex]= [latex]\frac{6^2*\sqrt{3}}{4}=9\sqrt{3}[/latex]6^2*√3/4; а всего у нас 4 одинаковых грани, то есть площадь всей поверхности пирамиды равна [latex]36*\sqrt{3}[/latex]