В правильной треугольной пирамиде SABC длина апоферы равна [latex] \frac{ \sqrt{37} }{6} [/latex], а отношение бокового ребра к высоте пирамиды равно [latex] \frac{ \sqrt{10} }{3} [/latex]. Найти объем пирамиды.

Пусть ребро и высота равны соответственно  x и y, по условию  [latex] \frac{x}{y}= \frac{\sqrt{10}}{3} [/latex] пусть z - сторона основания тогда радиус вписанной окружности будет равен  [latex]r= \frac{\sqrt{3}z}{6} [/latex] а апофему выразим через высоту и радиус  [latex]y^2+ (\frac{\sqrt{3}z}{6})^2= \frac{37}{36} [/latex] а центр вписанной окружности, совпадает с центром описанной окружности  r=2R , только в равностороннем треугольнике отудого  [latex] \sqrt{x^2-y^2}= \frac{\sqrt{3}z}{3} [/latex] решаем систему их трех неизвестных  получаем  [latex]z= \frac{ \sqrt{3} }{3} \\ y=1\\ x= \frac{\sqrt{10}}{3} \\ V=\frac{SH}{3}\\ S=\frac{\sqrt{3}}{12}\\ V=\frac{\frac{\sqrt{3}}{12}}{3}=\frac{\sqrt{3}}{36} [/latex]