В правильный треугольник со стороной а вписана окружность. Найдите ее радиус.

Правильный треугольник - треугольник, у которого все стороны равны (равны а) и все углы по 60 градусов. Центр вписанной окружности лежит на биссектрисе треугольника, но раз все стороны и углы равны, значит биссектриса является и медианой, и высотой. К тому же точками касания стороны делятся на 2. И отрезки сторон равны [latex] \frac{a}{2} [/latex]. Рассмотрим один маленький прямоугольный треугольник, образованный вершиной треугольника, центром окружности и высотой. Тогда у нас [latex]tg \alpha = \frac{r}{ \frac{a}{2} } [/latex], откуда [latex]r= \frac{a}{2} *tg \alpha [/latex]. Ну а альфа у нас половина угла треугольника, то есть 30 градусов. [latex]r = \frac{a}{2} * tg30= \frac{a}{2} * \frac{ \sqrt{3} }{3} = \frac{ \sqrt{3}*a }{6} [/latex] Ответ: [latex] \frac{ \sqrt{3}*a}{6} [/latex]