В произвольном четырехугольнике найти точку, для которой сумма векторов, идущих из этой точки к вершинам четырехугольника равна 0. Единственна ли такая точка?

Обозначим четырехугольник ABCD, искомую точку - O. Тогда по условию сумма векторов OA + OB + OC + OD = 0 Возьмем произвольную точку X в плоскости четырехугоьлника Справедливы векторные равенства: XA = XO + OA XB = XO + OB XC = XO + OC XD = XO + OD XA + XB + XC + XD = 4XO + OA + OB + OC + OD  Отсюда следует: XA + XB + XC + XD = 4XO Тогда вектор XO = 1/4 (XA + XB + XC + XD) Отсюда находится точка О (берем любую точку X, строим XA, XB, XC, XD, находим XO, и откладываем его из точки X - попадаем в искомую точку О). Положим существует точка O1 обладающая теми же свойствами Тогда такими же рассуждениями получаем, что XO1 = 1/4 (XA + XB + XC + XD) Отсюда XO = XO1, но это значит что O = O1 (т.е. это та же самая точка, значит она единственна)