В прямоугольном треугольнике высота и медиана, проведенные в гипотенузы, соответственно равны 24 см и 25 см. Найдите периметр треугольника.

Медиана в прямоугольном треугольнике, проведённая к гипотенузе, равна половине гипотенузе. Тогда гипотенуза равна 25*2см = 50 см. Высота в прямоугольном треугольнике является средним геометрическим для проекций катетов на гипотенузу. Пусть один отрезок, на который разбивает высота гипотенузу, равен х см. Тогда другой отрезок равен (50 - х) см. Получим уравнение: [latex] \sqrt{x(50-x)} = 24 [/latex] x(50 - x) = 576 50x - x² - 576 = 0 x² - 50x + 576 = 0 [latex] \left \{ {{ x_{1} } + x_{2} = 50} \atop {x_{1}* x_{2} = 576 }} \right. [/latex] [latex] \left \{ {{ x_{1} = 18} \atop { x_{2}= 32 }} \right. [/latex] Значит, высота делит гипотенузу на отрезки, равные 32 и 18 см соответственно. Найдем по теореме Пифагора катет в прямоугольном треугольнике, в котором этот катет является гипотенузой:[latex] \sqrt{24^{2} + 18^{2} } = \sqrt{576 + 324} = \sqrt{900} = 30 [/latex]см Найдем по теореме Пифагора последний катет большого прямоугольного треугольника: [latex] \sqrt{50^{2} - 30^{2} } = \sqrt{2500 - 900} = \sqrt{1600} = 40[/latex]см Теперь найдем периметр треугольника: P = 30 см + 40 см + 50 см = 120 см Ответ: 120 см.