В прямоугольной трапеции АВСД (угол ВАД=90) с основаниями АД=24 и ВС=16 диагонали пересекаются в точке М, АВ=10. Найти площадь треугольника АМД.

Смотрим картинго (пропорци, между прочим, соблюдены): Вспоминаем чудесное правило: При пересесечении диагоналей трапеции, треугольники, лежащие на основаниях подобны. Доказывется это легко и самостоятельно, через равенство двух пар накрест лежащих и одной пары вертикальных углов. ΔAMD~ΔCMB, MH и МО - высоты ΔAMD и ΔCMB, соответственно. Значит [latex] \frac{AD}{BC}=\frac{MH}{MO} [/latex] Если кто-то готов с этим поспорить ну дерзните... [latex]\frac{MH}{MO}=\frac{24}{16}=\frac{3}{2}\\\\MH=\frac{AB}{3+2}\cdot3=\frac{10}{3+2}\cdot3=6\\\\S_{AMD}= \frac{AD\cdotMH}{2}=\frac{24\cdot6}{2}=72[/latex] Всё...

S(ABM)/S(AMD)  = BM/DM ,  но BM/DM = BC/DA  =16/24 =2/3  ||  ΔCMB ~ ΔAMD || ; S(ABM)/S(AMD) =2/3 ; S(ABM)/S(AMD) +1  =2/3+1 ; S(ABD)/S(AMD) =5/3 ⇔S(AMD) =(3/5)*S(ABD) ⇒  S(AMD)=(3/5)*(24*10/2) =3*24*10/10 =72 (кв.ед.). * * * ИЛИ по другому  Как  усложнять себе жизнь  * * * Обозначаем S₁ =S(AMD); S₂ =S(CMB).   S(ABCD) =(√S₁+√S₂)²  ; (16+24)/2 * 10 =(√S₁+√S₂)² ; 200 = (√S₁+√S₂)² . ΔAMD~ΔCMB ⇒S₂/S₁ =(BC/AD)² ; S₂/S₁ =(16/24)² ⇒√S₂ =(2/3)*√S₁. ------- следовательно: 200 =((1+2/3)√S₁)²  ; 200 =(25/9)* S₁ ; S₁ =200*9/25 =72 (кв.ед.) .