В равнобедренной трапеции, описанной около окружности, боковая сторона х, а острый угол при основании равен 30 градусам. Выразите площадь S трапеции как функцию от х..

Обозначим трапецию АВСD, где AD - нижнее основание, ВС - верхнее. Как известно, площадь трапеции равна: S = (AD+ВС)*H/2, где H - высота трапеции. В данном случае H=x*sin30 = x/2. С учетом того, что трапеция равнобедренная и в нее вписана окружность, (AD+ВС)/2 = x. Это следует из свойств (равенств) касательных, проведенных к окружности из одной точки, в данном случае из вершин трапеции А, В, С и D до точек пересечения со сторонами трапеции. В итоге, площадь трапеции S=x*х/2 = х^2/2.