В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 120, а площадь 540, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей до меньшего основания.

Трапеция - четырехугольник. В четырехугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны.   Сумма длин боковых сторон данной трапеции равна сумме оснований и равна ее полупериметру.  ВС+АД=АВ+СД=120:2=60 Площадь трапеции равна произведению ее высоты на полусумму оснований ( среднюю линию) Средняя линия равна (АД+ВС):2=30 ВН и СК - высоты трапеции.  Высоту ВН трапеции найдем, разделив площадь на полусумму оснований  ВН= 540*30=18 Трапеция равнобедренная ⇒ АН=КД Из прямоугольного треугольника АВН найдем АН: АН=√(30²-18²)=24 ВС+НК+АН+КД=60 ВС=НК; АН=ДК 2 ВС+2*24=60 2 ВС=12 ВС=6 Треугольники, образованные диагоналями и основаниями, подобны.  Сумма их высот равна высоте трапеции =18  Пусть высота меньшего х, высота большего - 18-х Тогда ВС:АД=х:(18-х) 6:(6+48)=х:(18-х)  Решив пропорцию, получим высоту меньшего треугольника 1,8.  Это и есть искомое расстояние.