В рав­но­бед­рен­ную тра­пе­цию, пе­ри­метр ко­то­рой равен 120, а пло­щадь равна 540, можно впи­сать окруж­ность. Най­ди­те рас­сто­я­ние от точки пе­ре­се­че­ния диа­го­на­лей тра­пе­ции до её мень­ше­го ос­но­ва­ния.

Свойство трапеции, в которую вписана окружность - сумма оснований равна сумме боковых сторон. Средняя линия трапеции равна L = 120 / (2*2) = 30. Тогда высота трапеции равна Н = 540 / 30 = 18. Боковая сторона равна 120/(2*2) = 30. Находим основания трапеции: Проекция боковой стороны на нижнее основание равна: √(30² - 18²) = √(900 -  324) = √ 576 =  24. Тогда основания равны: - верхнее: ((120/2) - 2*24) = (60-48)/2 = 12/2 = 6. - нижнее: 2*24 + 6 = 48 + 6 = 54. Диагонали образуют 2 подобных треугольника. Высота трапеции точкой пересечения диагоналей делится на высоты этих треугольников пропорционально основаниям. Искомое расстояние равно: 18*(6/54) = 18/9 = 2.