В равнобедренную трапецию вписана окружность радиусом r, Одно основа трапеции меньше высоты в 2 раза. Найти площадь трапеции

Равнобедренная трапеция АВСД: боковые стороны АВ=СД=х, Радиус вписанной в трапецию окружности равен половине высоты трапеции r=h/2 По условию ВС=h/2, значит ВС=r Высота трапеции ВH=h=2r делит основание на отрезки АН=у и НД=ВС+у=r+у АД=АН+НД=у+r+у=r+2у Т.к. в трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин её противоположных сторон равны, то АВ+СД=ВС+АД АВ=(ВС+АД)/2=(r+r+2у)/2=r+у По т.Пифагора из прямоугольного ΔАВН: АВ²=АН²+ВН²=у²+4r² (r+у)²=у²+4r² r²+2rу+у²=у²+4r² 2rу=3r² у=3r/2 АД=r+2*3r/2=4r Площадь трапеции S=(АД+ВС)*ВН/2=(4r+r)*2r/2=5r² Ответ: 5r²