В равнобедренную трапецию вписана окружность. Сколько процентов площади трапеции занимает площадь четырёхугольника, вершины которого лежат в точке касания, если тупой угол трапеции равен 150 градусов? (есть рисунок)

Решение во вложенном файле.

обозначаем :  AD=a , BC =b. S(ABCD)=(AD+BC)/2*H =(AD+BC)²/8 =(a+b)²/8 . * * * ∠BAD=30°⇒H =AB/2=(AD +BC)/4 , т.к.  AB+СD=AD +BC (свойство вписанного четырехугольника) 2AB=(AD +BC)⇒         AB=(AD +BC)/2 .   * * * --- S(NPKM) =S(ABCD) -(S(ANM) + S(DKM)+S(NBP)+ S(KCP) )= S(ABCD) -(2S(ANM) +2S(NBP) ) =(a+b)²/8 -(a²/8 + b²/8) = ab/4. * * * 2S(ANM) =2*(1/2)(a/2)*(a/2)*sin30°=a²/8  и   * * * 2S(NBP) =2*(1/2)(b/2)*(b/2)*sin150° =b²/8. * * * S(NPKM) / S(ABCD) =ab/4 : (a+b)²/8 =2ab/(a+b)². H² = ((a+b)/2)² -((a-b)/2)²=ab ⇔ ((a+b)/4)² =ab ⇒ (a+b)² =16ab. следовательно: S(NPKM) / S(ABCD) = 1/8 .   (1/8)*100 =12,5 % . ответ: 12,5 % . * * *  S(ABCD) =ar/2+br/ 2+cr/2 +cr/2=((a+b)/2+c)r =(a+b)r. где  r =(1/2)√ab , с другой стороны   ∠BAD =30°, AB =2H =4r =2√ab  (a+b)/2 = 2√ab.