В равнобедренную трапецию,периметр которой равен 160, а площадь равна 1280, можно вписать окружность. найдите расстояние от точка пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания .

Пусть ABCD -трапеция , AD || BC , BC< AD ; P(ABCD) =160 ,S((ABCD) =1280 . трапецию   можно вписать окружность; MN ⊥ AD ; O ∈ [ MN ],  O -пересечения диагоналей(MN проходит через O).  M∈ [AD] ,N∈ [BC]. ---- ON -? S =(AB +BC) /2 *H ,где  H  - высота трапеции .  По условию задачи  трапеция описана  окружности , следовательно : AD+BC =(AB +CD) = P/2 =160/2 =80. AB =CD =40 ; S =(AB +BC) /2 *H ; 1280 =40*H ⇒ H =32.  Проведем BE ⊥AD и  CF ⊥ AD,  AE =DF =√(AB² -BE)² =√(AB² -H²)  =√(40² -32²) =576 . AD -BC =2*32 =64. { AD -BC =64 ; AD +BC =80 ⇒AD =64 ; BC =16. ΔAOD подобен ΔCOB : BC/AD =ON/ OM ⇔BC/AD =ON/ (H -ON) . 16/64 =ON/ (4 -ON) ⇒ON =0,25. ответ:  0,25.