В тетраэдре ABCD отрезки, соединяющие его вершины с центрами вписанных окружностей противоположных граней, пересекаются в одной точке. Известно, что AB=8, BC=5, CD=7. Найдите DA.
В тетраэдре ABCD отрезки, соединяющие его вершины с центрами вписанных окружностей противоположных граней, пересекаются в одной точке. Известно, что AB=8, BC=5, CD=7. Найдите DA.
Ответ(ы) на вопрос:
Гость
Очень смешная задачка, меня порадовала.
Пусть точка пересечения упомянутых в условии отрезков - это точка M.
Предположим, что я построил плоскость ACM.
Тогда центр окружности, вписанной в треугольник BCD, лежит в этой плоскости (потому что этот центр лежит на прямой AM), и следовательно, в этой плоскости лежит биссектриса угла BCD.
Точно также, в этой плоскости ACM лежит центр окружности, вписанной в треугольник ABD (как "конец" отрезка CM), и, следовательно, в плоскости ACM лежит биссектриса угла DAB.
Ну, значит, эти биссектрисы имеют общую точку (конец) на отрезке BD.
Что означает, в частности, что AD/AB = CD/CB;
AD = AB*CD/CB = 8*7/5 = 11,2
Я кучу времени потратил, пытаясь выяснить, не являются ли стороны тетраэдра касательными к одной сфере, но это оказалось ложным следом (и неверно!)
Не нашли ответ?
Похожие вопросы