В тетраэдре DABC длины всех ребер равны. Расстояние между прямыми DC и AB равно 6, точка P середина ребра AD, точка M середина ребра BC. Найдите расстояние между прямыми PM и AC.

Если все рёбра равны, то тетраэдр - правильный. Расстояние между всеми противоположными рёбрами равно 6, в том числе и РМ. АРМ - прямоугольный треугольник: РМ ⊥АД (по свойству расстояния между непересекающимися прямыми). АМ - высота треугольника основания равна всем апофемам. Обозначим сторону тетраэдра "а".  АМ = а*cos30 = a√3/2. АР равно а/2 по заданию. (a√3/2)² = 6² + (а/2)², 3а²/4 = 36 + а²/4, 2а²/4 = 36 а²/2 = 36 а = √(36*20 = 6√2. Тогда АМ = (6√2)*(√3/2) = 3√6. Расстояние между непересекающимися прямыми равно расстоянию между параллельными плоскостями, в которых лежат рассматриваемые прямые. Изобразим проекцию тетраэдра на плоскость, перпендикулярную стороне АВ. Тогда проекция тетраэдра примет вид треугольника, две равные стороны которого равны высоте основания и апофеме. Третья сторона - ребро тетраэдра. Так как Точки Р и М принадлежат серединам рёбер, то и их проекции будут лежать на серединах сторон полученного треугольника. Отсюда вывод: расстояние между непересекающимися прямыми равно половине расстояния между противоположными рёбрами тетраэдра. Ответ: L = 6 / 2 = 3.