. В трапеции ABCD (BC и AD - параллельны) диагонали пересекаются в точке О. Площадь треугольника ВОС равна 3, а площадь треугольника AOD равна 27. Найдите АС, если АО = 6.

[latex]ABCD-[/latex] трапеция [latex]BC[/latex] ║ [latex]AD[/latex] [latex]AC[/latex] ∩ [latex]BD=O[/latex] [latex] S_{BOC}=3 [/latex] [latex]S_{AOD}=27[/latex] [latex]AO=6[/latex] [latex]AC-[/latex] ? Рассмотрим Δ [latex]BOC[/latex]  и Δ [latex]AOD[/latex]: [latex]\ \textless \ OAD=\ \textless \ OCB[/latex] (как накрест лежащие при параллельных прямых BC и AD и секущей AC) [latex]\ \textless \ BOC=\ \textless \ DOA[/latex] ( как вертикальные) Значит Δ [latex]BOC[/latex] подобен Δ [latex]AOD [/latex] (  по двум углам) Воспользуемся теоремой об отношении площадей подобных треугольников: Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. [latex] \frac{S_{BOC} }{ S_{AOD} }=k^2 [/latex] [latex] \frac{3 }{27}=k^2 [/latex] [latex] \frac{1 }{9}=k^2 [/latex] [latex] k=\frac{1 }{3}[/latex] Так как Δ [latex]BOC[/latex] подобен Δ [latex]AOD [/latex] и коэффициент подобия равен k, то [latex] \frac{OC}{AO}= \frac{OB}{DO}= \frac{BC}{AD}=k [/latex] [latex]\frac{OC}{AO}=k [/latex] [latex]\frac{OC}{6}= \frac{1}{3} [/latex] [latex]OC=2[/latex] [latex]AC=OC+OA[/latex] [latex]AC=2+6=8[/latex] Ответ: 8