В трапеции ABCD основания AD = 4, BC = 2, боковая сторона AB = √7, ∠ACD = 60◦ . Точка K принадлежит прямой AD, прямая CK делит трапецию на части, площади которых относятся как 1:3 (вершина D принадлежит меньшей части). Найдите CK.

△KCD= SABCD/4 SABCD= (AD+BC)*h/2 AD=2BC SABCD= 3BC*h/2 △KCD= 3BC*h/8 △KCD= KD*h/2 3BC*h/8 = KD*h/2 <=> KD= 3BC/4 BC= 2 KD= 1,5 AK= 4-1,5 = 2,5 ----- СM - медиана △AСD: AM= 1/2AD =BC Если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник — параллелограмм. СМ=AB Медиана по трем сторонам: Mc= √(2a^2 + 2b^2 - c^2)/2 CM= √(2AC^2 + 2CD^2 - AD^2)/2 √7= √(2AC^2 + 2CD^2 - 4^2)/2 <=> 7= (AC^2 + CD^2)/2 - 4 <=> AC^2 + CD^2 =22 AD^2= AC^2 + CD^2 -2AC*CD*cos(ACD) 16= AC^2 + CD^2 - AC*CD 16= 22 - AC*CD <=> AC*CD =6 <=> AC= 6/CD (6/CD)^2 +CD^2 =22 <=> (36 +CD^4 -22CD^2)/CD^2 <=> CD^4 -22CD^2 +36 =0 CD^2= 11+-√85 -- C₁D= 4,4966 C₂D= 1,3343 -- AC₁= 1,3343 AC₂= 4,4966 ----- △AC₁D=△AC₂D (по трем сторонам) ∠C₁DA=∠DAC₂=α ∠AC₁D=∠AC₂D=60 -- sin(60)/4 = sin(α)/AC₁ sin(α) = 0,2165*1,3343 = 0,2889 cos(α)= √[1-0,2889^2] = 0,9573 -- 1) △C₁DK: C₁D= 4,4966; KD= 1,5 C₁K^2= C₁D^2 + KD^2 - 2*C₁D*KD*cos(α) CK^2= 20,2194 + 2,25 - 8,6091*1,5 = 9,5556 C₁K= 3,0912 -- 2) △AC₂K: AC₂= 4,4966; AK= 2,5 C₂K^2= AC₂^2 + AK^2 - 2*AC₂*AK*cos(α) CK^2= 20,2194 + 6,25 - 8,6091*2,5 = 4,9466 C₂K= 2,2241