В треуг. АВС угол В 120. АА1, ВВ1, СС1 – биссектрисы его внутренних углов. Док-ть, что угол А1В1С1 – прямой.

Обозначения AC = b; AB = c; BC = a; BB1 = z; BC1 = x; BA1 = y; A1C1 = p; A1B1 = n; B1C1 = m; Угол ABB1 = угол B1BC = B/2 = 60°; поэтому косинусы этих углов равны 1/2; угол ABC = B = 120°, его косинус равен -1/2.  (Немного теории - на всякий случай) Площадь треугольника ABB1 равна z*c*sin(B/2)/2; площадь треугольника ВВ1С равна z*a*sin(B/2)/2; поэтому c*a*sin(B)/2 = z*c*sin(B/2)/2 +z*a*sin(B/2)/2;  откуда z = 2*a*c*cos(B/2)/(a + c) (это - известная формула для длины биссектрисы). При В = 120°; z = a*c/(a + c); Из известного свойства биссектрисы внутреннего угла x = c*a/(b+a); y = a*c/(b+c); Далее, из теоремы косинусов для треугольников BC1B1, BB1A1 и BC1A1 m^2 = x^2 + z^2 - x*z; n^2 = y^2 + z^2 - y*z; p^2 = x^2 + y^2 + x*y;  Поэтому  m^2 + n^2 - p^2 = 2*z^2 - x*y - x*z - y*z; Это равно 2*(a*c/(a + b))^2 - (a*c)^2/((b + c)*(b + a)) - (a*c)^2/((a + c)*(b + a)) - (a*c)^2/((a + c)*(b + c)); Если вынести множитель (a*c)^2/((a+c)^2*(b + c)*(b + a)) "за скобки", то В СКОБКАХ останется 2*(b + c)*(b + a) - (a + c)^2 - (a + c)*(b + c) - (a + c)*(a + b) = (половина первого слагаемого комбинируется с третьим, другая половина - с четвертым слагаемым) = (b + c)*(b + a - c - a) + (b + a)*(b + c - c - a) - (a + c)^2 = b^2 - c^2 + b^2 - a^2 - a^2 - c^2 - 2*a*c = 2*(b^2 - (a^2 + c^2 + a*с)) = 0; по теореме косинусов для треугольника АВС. Поэтому m^2 + n^2 = p^2, то есть А1В1С1 - прямоугольный треугольник, угол А1В1С1 = 90°, ч.т.д