В треугольник вписана полуокружность, радиус которой равен 12 см. Центр этой полуокружность делит одну из сторон треугольника на отрезки 15 и 20 см. Определить неизвестные стороны треугольника.

Эта задача на много проще, чем кажется. Если из центра окружности (который лежит на гипотенузе) опустить перпендикуляры на катеты, то получится квадрат и два треугольника, подобных исходному. Если обозначить радиус окружности r, больший катет большего треугольника b, меньший катет меньшего треугольника a,  то стороны исходного треугольника будут такие (a + r, b + r, 35) стороны меньшего треугольника (a, r, 15) стороны большего  (r, b, 20)  и все эти три треугольника подобны между собой. отсюда a/r = 15/20 = 3/4;  то есть все эти три треугольника - египетские (подобные треугольнику со сторонами 3, 4, 5) То есть уже можно написать ответ :) вычислять уже ничего не надо, надо просто "подобрать" коэффициенты подобия, чтобы гипотенузы египетских треугольников были бы 15 и 20. Само собой, это 3 и 4. То есть a = 9, r = 12, b = 16; (получились треугольники 9, 12, 15 и 12, 16, 20) Исходный треугольник имеет стороны 21, 28, 35, его площадь 294;  длина полуокружности πr = 12π; Весь "трюк" в том, что r - одновременно больший катет в одном из подобных треугольников и меньший - в другом.