В треугольнике ABC  AB=5, BC=4, CA=3. Точка B лежит на прямой BC так, что BD : DC = 1 : 3. Окружности, вписанные в каждый из треугольников ADC и ABD, касаются стороны AD в точках E и F . Найдите длину отрезка EF

Для начало заметим то что  наш треугольник прямоугольный , так как удовлетворяет теореме пифагора 3^2+4^2=5^2.  Так как  треугольник CAD  прямоугольный и еще равнобедренный ,то DA=√3^2+3^2=3√2 .  Теорема касательные к окружности проведенные с одной точки равны, то есть у нас MC=CL, AL=AF ,  DF=DM .  найдем AF ;  так как AF+AL=AD+DC+AC-DF-DC-CL=PADC-DF-DC-CL,  а так как AF=AL 2AF=P-2DC , так как  DF=DM,  MC=CL  AF=p-DC ,  здесь уже p - полупериметр  .  AF=(3√2+6)/2 - 3   = 3√2/2  Так же и AE=p-BD=(1+5+3√2)/2 -1       =       (4+3√2)/2 Теперь EF=AE-AF=((4+3√2) - 3√2)/2   =  2