В треугольнике ABC биссектриса угла A делит высоту, проведённую из вершины B в отношении 13:12, считая от точки B. Найдите радиус окружности , описанной окого треугольника ABC, если BC=10

Обозначим коэффициент пропорциональности деления высоты за к. Точка пересечения высоты биссектрисой - Е, основание высоты - точка Д. Тогда ВЕ = 13к, ЕД = 12к. Используем свойство биссектрисы - она делит сторону треугольника пропорционально боковым сторонам. Обозначим коэффициент пропорциональности деления боковых сторон за х. Отрезок АД = 12х, сторона АВ = 13х. По Пифагору (13х)² = (12х)²+(12к+13к)² 169х² = 144х²+625к² (169-144)х² = 625к² 25х² = 625к² х = 5к Тангенс половины угла А = 12к / 12х = к / х Заменим х = 5к и получим tg (A/2) = k / 5k = 1/5. A/2 = arc tg(1/5) =  0.197396 радиан = 11.30993 градуса. Угол А =  11.30993*2 =  22.61986 градуса. Синус этого угла равен  0.384615. Радиус окружности, около треугольника ABC, равен: R = a / 2sin A = 10 / (2*0.384615) = 13.