В треугольнике ABC  сторона AB=16 , AC=64 , точка O  — центр окружности, описанной около треугольника ABC . Прямая BD , перпендикулярная прямой AO , пересекает сторону AC  в точке D . Найдите CD .

Проведем из вершины [latex] B,C[/latex] отрезки [latex]BE;EC[/latex] , где точка [latex]E[/latex] пересечение с окружностью. Обозначим точку перпендикуляра [latex]BD[/latex] с   [latex]AO[/latex] [latex]G[/latex].  Получим  четырехугольник [latex]ABCE[/latex] , который вписан  в окружность.  По теореме Птолемея [latex]64*BE+16*EC=AE*BC [/latex], так как   [latex]AE[/latex]     лежит  на центре    , то треугольники  [latex]ABE;ACE[/latex] прямоугольные.  [latex]AE=\sqrt{64^2+EC^2}\\ BC=\sqrt{16^2+BE^2} [/latex] .  Откуда  при подстановке получаем соотношение  [latex] BE*EC=1024[/latex].  Так как [latex]\sqrt{16^2+BE^2}=\sqrt{64^2+(\frac{1024}{BE})^2}\\\\ BE=64\\\\ EC=16 [/latex] Четырехугольник прямоугольник.  Заметим что [latex]BG[/latex] - высота прямоугольного треугольника  [latex]ABE[/latex] , тогда  [latex]BG=\frac{16*64}{\sqrt{16^2+64^2}}=\frac{64}{\sqrt{17}} [/latex]. Откуда по Теореме Пифагора   [latex]BG^2+AG^2=16^2\\ AG=\sqrt{16^2-\frac{64^2}{17}}=\frac{16}{\sqrt{17}}\\[/latex] , так как  [latex]AG[/latex] является высотой  прямоугольного  треугольника  [latex]BAD[/latex] , то   [latex]AG=\frac{16AD}{\sqrt{16^2+AD^2}}\\\\ \frac{16}{\sqrt{17}}=\frac{16AD}{\sqrt{256+AD^2}}\\\\ \sqrt{256+AD^2}=\sqrt{17}AD\\\\ 256+AD^2=17AD^2\\\\ 16AD^2=256\\\\ AD=4 [/latex]   тогда [latex]CD=64-4=60[/latex]