В треугольнике ABC точка N является серединой медианы AM. Прямая CN пересекает отрезок AB в точке P. Найдите AP:BP. Ответ запишите в виде десятичной дроби.

Отложим на прямой [latex] CN [/latex] отрезок [latex] NL = CN , [/latex] проведём отрезки [latex] AL [/latex] и [latex] ML , [/latex] В четырёхугольнике [latex] ACML [/latex] – диагонали [latex] AM [/latex] и [latex] CL [/latex] делят друг друга пополам, а значит [latex] ACML [/latex] – параллелограмм. И значит [latex] ML || AC , [/latex] а стало быть по теореме Фалеса [latex] AB \cap ML \equiv Q [/latex] – середина [latex] AB , [/latex] откуда следует, что [latex] NQ [/latex] – средняя линия [latex] \Delta MAB , [/latex] и [latex] NQ || MB || AL , [/latex] а поэтому [latex] NQ [/latex] – средняя линия [latex] \Delta ALM , [/latex] т.е. [latex] Q [/latex] – середина [latex] LM . [/latex] В [latex] \Delta ALM , LN [/latex] и [latex] AQ [/latex] – мидианы. По свойству медиан, они пересекаются в точке [latex] P [/latex] с отношением: [latex] AP : PQ = 2 : 1 \ ; [/latex] [latex] AP = 2 PQ \ ; [/latex] [latex] QB = AQ = AP + PQ = 3 PQ \ ; [/latex] [latex] PB = PQ + QB = PQ + 3 PQ = 4PQ \ ; [/latex] [latex] AP : BP = 1 : 2 \ ; [/latex] О т в е т : [latex] AP : BP = 1 : 2 \ . [/latex]