В треугольнике ABC угол C равен 90 градусов, угол A равен 15 градусам. AC = sqrt 3. CD - биссектриса треугольника. Найти AD.

По условию известно, что CD - биссектриса угла С=90 градусов, то угол ACD= углу BCD=45 градусов. В треугольнике ACD угол А=15 градусов, угол С= 45 градусов, то угол D= 180-(15+45)=120 градусов.  Из  треугольника ACD по теореме синусов имеем: AC:sin D=AD: sin C AD=(AC*sin45)/sin 120=([latex]\sqrt{3}*\sqrt{2}/2[/latex])/[latex]\sqrt{3}/2[/latex]=[latex]\sqrt{2}[/latex]

Из условия следует, что треугольник прямоугольный, далее, рассмотрим треугольник ACD. Все углы у него известны, а именно ^CAD = 15 (по условию) ^ACD = 45 (СD - биссектриса прямого угла) ^ADC = 120 (180-15-45) и одна сторона тоже АС = sqrt(3). Следовательно, треугольник полностью определён и не представляет сложностей найти все другие его элементы. Длину стороны AD проще всего найти из теоремы синусов   AD/sin(^ACD)=AC/sin(^ADC), откуда   AD =AC*sin(^ACD)/sin(^ADC), подставим исходные данные   AD = sqrt(3)*sin(45)/sin(180-60)=(sqrt(3)*sqrt(2)/2)/(sqrt(3)/2)=sqrt(2)   Вот и всё. Вроде так.