В треугольнике ABC высоты AA₁ и BB₁ пересекаются в точке O. Известно, что BO=OB₁, AO:OA₁=7, AC=4. Найти AB, BC и A₁B₁.

Треугольники  [latex]AOB_{1}; BOA_{1}[/latex]  подобны     [latex]\frac{OB}{OA_{1}} = \frac{OA}{OB_{1}}\\ BO=OB_{1}\\ AO=7OA_{1}\\\\ \frac{OB}{OA_{1}} = \frac{7OA_{1}}{OB}\\\\ OB^2=7OA_{1}^2 \\\\ OB=\sqrt{7}OA_{1}\\ OB_{1}=\sqrt{7}OA_{1}\\ OA=\sqrt{7}OB\\ OA_{1}=\frac{\sqrt{7}OB}{7}\\ AA_{1} = \frac{8\sqrt{7}OB}{7}\\ BB_{1}=2OB\\\\ S_{ABC}=\frac{4*2OB}{2}=\frac{BC * \frac{8\sqrt{7}OB}{7}}{2}\\ BC=\sqrt{7}\\ AB_{1} = \sqrt{ 7OB^2-OB^2 } = \sqrt{6}OB\\ AB=\sqrt{10}OB\\ 10OB^2=7OB^2+OB^2-2*OB^2*\sqrt{7}*cosa\\ cosa=\frac{-\sqrt{7}}{7}\\ [/latex]   [latex]AB=\sqrt{15}[/latex]       [latex]BC=\sqrt{7}\\ AB=\sqrt{15}\\ OB=\sqrt{1.5}\\ A_{1}B_{1}= \frac{\sqrt{15}}{\sqrt{7}}[/latex]