В треугольнике АВС биссектриса ВD равна [latex] \sqrt{10} [/latex], а стороны АВ = 6 и ВС = 3. Точка М – середина стороны АВ. Отрезки ВD и СМ пересекаются в точке О. Найти АС и определить площадь четырехугольник АМОD.

ВД=√10-биссектриса, АВ/ВС=АД/ДС=6/3=АД/ДС, 2/1=2х/х, АД=2х, ДС=х, АС=2х+х=3х, проводим высоту ВН на АС, площадь треугольника АВД=1/2*ВН*АД=1/2*2х*ВН=х*ВН, площадь ДВС=1/2*ДС*ВН=х*ВН/2, площадь АВС=1/2*АС*ВН=3х/2 * ВН, из отношения площадей находим площадь ДВС=1/3 площадиАВС, площадь АВД=2/3 площади АВС, СМ-медиана, АМ=ВМ=3, медиана делит треугольник АВС на два равновеликих треугольника площадь АМС=площадь МВС=1/2площади АВС, треугольник  МВК равнобедренный, ВМ=ВС=3,, ВО-биссектриса=медиана=высота, площадь МВО=площадьВОС=1/2площадь МВС=1/4площадьАВС, площадь АМОД=площадьАВС - (площадьДВС+площадьМВС)=1-(1/3+1/4)=5/12 площадей АВС, ВД=(1/АВ+ВС)*(корень(АВ*ВС*(АВ+ВС+АС)*(АВ+ВС-АС)=(1/9) * (корень18*(6+3+3х)*(6+3-3х))=(1/9)*(корень(18*(81-9х²), обе части в квадрат, 10*81=18*(81-9х²), х²=4, х=2=ДС, АД=2*2=4, АС=2+4=6треугольник АВС равнобедренный, АВ=АС=6, проводим высотуВК на ВС=медиане=биссектрисе, ВК=КС=1/2ВС=3/2=1,5=3/2, треугольник АВК прямоугольный АК²=АВ²-ВК²=36-9/4=135/4, АК=(3√15)/2, площадь АВС=1/2*ВК*АК=1/2*3/2*(3√15)/2=(9√15)/4,площадь АМОД=(5/12)*(9√15)/4=15√15/16

BD² =AB*BC - AD*DC ; AD/DC = AB/BC. AD/DC =2:1 ⇒AD =2k , DC =k (AC=AD+DC =3k) (√10)² = 6*3 -2k*k⇒k=2 , следовательно  AC=3k=3*2 =6.  (=AB). ------- S(ABD)/S(ABC) =AD/AC =2/3 S(ABD)=(2/3)*S(ABC). S(AMOD) = S(ABD) -S(MBO) =(2/3)*S(ABC) -S(MBC)/2 = (2/3)*S(ABC) -(1/4)*S(ABC) =(5/12)*S(ABC) . S(ABC) = (1/2)*BC *h(a) . h(a) =√(AB² -(BC/2)² ) =√(6² -(3/2)²) =(3/2)* √15. S(ABC) = (9/4)* √15 . S(AMOD) =(5/12)*S(ABC)= (5/12)*  (9/4)* √15 =(15/16)√15 . -------- MB =BC =3 , BO биссектриса ⇒ BO медиана ,поэтому  S(MBO) =S(MBC)/2 =(1/4)*S(ABC). А площадь ABC можно вычислить разными способами .