В треугольнике АВС известны длины АВ=36, АС=48, точка О центр окружности описанной около треугольника АВС. Прямая ВД, перпендикулярна прямой АО, пересекает АС в точке Д. Найти СД.

 Продолжим [latex]D[/latex] за [latex]AC[/latex] , получим равнобедренный треугольник, так как если угол [latex]BCA=a[/latex] , тогда угол [latex]ABD=a[/latex],так же как и [latex]AD_{1}H[/latex] , значит [latex]AD_{1}=36[/latex], положим что угол [latex]BDA=b[/latex] тогда [latex]AD=\frac{36*sina}{sinb}[/latex]; [latex]DC=\frac{36*sin(a+b)*sin(a-b)}{sina*sinb}[/latex] в сумме [latex]AD+DC=48[/latex],откуда получаем такое соотношение  [latex]b=arcsin\frac{4sina}{3}[/latex] , по свойству хорд  [latex]AD*DC=BD*DD_{1}[/latex] , [latex]BD=9\sqrt{9-16sin^2a}+36*cosa[/latex]  ,[latex]DD_{1}=72*cosa-BD[/latex] ,  [latex]BD*DD_{1}=567[/latex] ,  значит      [latex](48-CD)*CD=567\\ 48CD-CD^2=567\\ CD^2-48CD+567=0\\ (CD-21)(CD-27)=0\\ CD=21\\ CD=27[/latex]  ответ [latex]CD=21[/latex]