В треугольнике АВС угол С равен 90 градусов, СН-высота, АВ=29, tgA=5/2. Найти АН. 

Пусть Стороны против Вершин А B и С равны a, b, c соответственно. (с=29, tgα=5/2) Высота CH = h,  AH = x. Найдем Х. Из ΔAHC  x=h/tgα  (1) h²=b²-x²  (2) Из ΔABC  a=b·tgα  (3)  b²=c²-a²  (4) подставим 3 в 4 b²=c²-b²·tg²α выразим b² b² = c² / (1+tg²α) подставим в  2 h²=c² / (1+tg²α) - x²  (5) из 1 h² = x²·tg²α   подставим в 5 x²·tg²α  = c² / (1+tg²α) - x² выражаем x² x² = c² / (1+tg²α)² x = c / (1+tg²α) = 29 / (1 + 25/4) = 4