В треугольнике KLM вписана окружность, которая касается KL в точке A, а стороны KM в т. B. Найти угол LMK? если BM = 5, AL = 10, а cos LKM = 1/26

Обозначим точку касания на стороне LM буквой С, а отрезок КВ = х. По свойству вписанной окружности: KB = KA = x, BM = CM = 5, AL = CL = 10. Отсюда имеем сторону LM = 15. По теореме косинусов: cos K = (x+10)²+(x+5)²-15²/(2*(x+10)(x+5) = 1/26 (по заданию). После раскрытия скобок, приведения подобных и сокращения получаем квадратное уравнение: х²+15х-54 = 0. Квадратное уравнение, решаем относительно x: Ищем дискриминант: D=15^2-4*1*(-54)=225-4*(-54)=225-(-4*54)=225-(-216)=225+216=441;Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня: x_1=(√441-15)/(2*1)=(21-15)/2=6/2=3;x_2=(-√441-15)/(2*1)=(-21-15)/2=-36/2=-18. этот корень отбрасываем. Теперь известны все стороны треугольника:  KL = 13, LM = 15, KM = 8. Mожно найти заданный косинус угла LMK. cos LMK = (15²+8²-13²)/(2*15*8) = (225+64-169)/240 = 120/240 = 1/2. Угол LMK равен arc cos(1/2) = 60°.