В цилиндре параллельно его оси проведено сечение, диагональ которого наклонена к плоскости основания под углом 60 градусов. Это сечение пересекает нижнее основание по хорде, которая стягивает дугу 90 градусов. Найдите объем цил...

Хорда, диагональ сечения и образующая цилиндра составляют прямоугольный треугольник, углы которого 90, 60 и 90-60=30 градусов. По определению синуса, синус острого угла при хорде равен отношению образующей конуса к диагонали сечения. То бишь, если принять значение длинны диагонали сечения за Х, и учесть, что длинна образующей равна высоте, то: [latex]sin (60)= \frac{8}{x}\\ \frac{ \sqrt{3} }{2} = \frac{8}{x} \\x \sqrt{3}=16\\x= \frac{16}{ \sqrt{3} } [/latex]. Теперь найдем хорду. По теореме Пифагора, квадрат её длинны равен разности квадратов диагонали сечения и образующей цилиндра: [latex] x^{2} =(16 \sqrt{3})^2-8^2\\x= \sqrt{256*3-64} \\x= \sqrt{704} \\x=8 \sqrt{11} [/latex] Найдем теперь радиус основания цилиндра. Два радиуса вместе с хордой образуют равнобедренный прямоугольный (по условию) треугольник. Так как радиусы равны, мы можем принять их за Х и снова воспользоваться теоремой Пифагора: [latex](8 \sqrt{11})^2=x^2+x^2\\704=2x^2\\x^2=352\\x=4 \sqrt{22} [/latex] Объем цилиндра равен площади основания, умноженной на высоту. Площадь круга - π*r². Отсюда объем цилиндра: [latex]V=S*H= \pi *(4 \sqrt{22})^2*8=352*8* \pi =2816 \pi [/latex] Ответ: объем данного цилиндра равен 2816π см³.