В выпуклом четырехугольнике ABCD ABCD : BAC=20∘, BCA=55∘, BDC=40∘  , BDA=110∘ . Найдите величину угла (в градусах) между диагоналями четырехугольника.

Четырехугольник ABDC. Проводим диагонали и биссектрису DK. Точка К - точка пересечения диагонали AC и DK. ∠ KDB = 55°, т.к. DK - биссек. ⇒ он равен ∠KCB = 35° (по услов) ⇒ Точки K C B D лежат на одной окружности (см. рис.) Получается, вписанный четырехугольник, у которого противоположные углы в сумме 180°. Из этого следует: ∠BKC = ∠BDC = 40° ∠ABK = ∠BKC - ∠ BAC = 40 - 20 = 20° Тогда BK = AB ⇒ Тогда радиус первой окружности (около AKD) равен радиусу второй (∠ADK = ∠KDB = 55°) Поэтому: ∠CAD = ∠ ACD = [latex] \frac{180 - 150}{2} = 15[/latex] Следовательно, угол между диагоналями равен: ∠BDC + ∠ACD = 40 + 15 = 55° Ответ: 55 °