В выпуклом четырехугольнике ABCD: BAC=5∘, BCA=35∘,BDC=10∘,BDA=70∘. Найдите величину угла (в градусах) между диагоналями четырехугольника.

Пусть О - центр окружности, описанной около треугольника АBC.  Тогда ∠BOC=2∠BAC=50°=∠BDC.  Значит D лежит на окружности, описанной около треугольника BOC. Аналогично, ∠BOA=2∠BCA=100°=∠BDA.  Значит D лежит на окружности, описанной около треугольника BOA, а значит D - одна из двух точек пересечения этих окружностей, которые есть О и B. Очевидно, что D совпадать с B не может, значит D совпадает с О. Т.е. D - центр окружности, описанной около ABC. Отсюда BDC - равнобедренный, ∠DBC=(180°-50°)/2=65° и значит угол между диагоналями ABCD равен 180°-∠DBC-∠BCA=180°-65°-50°=65°.