Весь мозг сломан.... найти остаток от деления на число 3 числа    [ (2 в степени 1947) - 23]  

[latex]\\2^{1947}=(3-1)^{1947}[/latex] Воспользуемся формулой бинома Ньютона: [latex]\\(a+b)^n=\sum_{k=0}^n\left(\begin{matrix}n\\k\end{matrix}\right)a^{n-k}b^k\\\left(\begin{matrix}n\\k\end{matrix}\right)=\frac{n!}{k!(n-k)!}[/latex] В нашем случае [latex]b^k=1[/latex] и знаки слагаемых чередуются (т.к. b= -1). То есть: [latex]\\(3-1)^{1947}=3^{1947}-1947\cdot3^{1946}+\ldots+1947\cdot3-1[/latex] Все слагаемые, кроме последнего, делятся на 3. Следовательно, и всё число не делится на 3, остаток от деления равен 2. 23 также при делении на 3 даёт остаток 2. Значит, их разность делится на 3 без остатка. Число [latex]2^{1947}=(3-1)^{1947}[/latex] при делении на 3 даёт остаток 0.