Внутри угла ABC взята точка K, которая равноудалена от сторон угла BA и   BC. Докажите, что угол ABK равен углу CBK

Так как точка К равноудалена от сторон угла, то перпендикуляры КА и КС,  опущенные на стороны угла равны. Соединим точки К и В.Рассмотрим треугольники АВК и ВСК. Они равны, так как они  прямоугольные треугольники, у которых равны катеты АК и КС , а гипотенуза ВК - общая. А против равных сторон лежат равные углы и тогда углы АВК и СВК равны. А значит, ВК - биссектриса.