Вопрос про интеграл. К примеру возьмём такой интеграл: [latex] \int\limits^2_{-3} ({2x-3}) \, dx [/latex] Как правильно интегрировать? Варианты: [latex]2) \; \int\limits {(2x-3)} \, dx=2*\frac{x^2}{2}-3x=x^2-3x;\\[/latex] Или н...
Вопрос про интеграл.
К примеру возьмём такой интеграл:
[latex] \int\limits^2_{-3} ({2x-3}) \, dx [/latex]
Как правильно интегрировать? Варианты:
[latex]2) \; \int\limits {(2x-3)} \, dx=2*\frac{x^2}{2}-3x=x^2-3x;\\[/latex]
Или надо по формуле:
[latex] \; \int\limits {f(kx+b)} \, dx=\frac{1}{k}F(kx+b)\\ 2)\; 1) \; \int\limits {(2x-3)} \, dx=\frac{1}{2}F(2x-3)=\frac{1}{2}(2*\frac{x^2}{2}-3x)=\frac{1}{2}(x^2-3x);\\[/latex]
Такое решение даёт неверный ответ. Может неправильно использовал формулу, и правильнее будет так:
[latex]3) \; \int\limits {(2x-3)} \, dx=\frac{1}{2}*\frac{(2x-3)^{1+1}}{1+1}=\frac{(2x-3)^2}{4}[/latex]
В 3-ем использовалась не только формула функции, но и степенной.
Правильный ответ дают 1-ое и 3-ье решения.
Гость
Ответ(ы) на вопрос:
ГостьМожно воспользоваться заменой переменной:
[latex]\int (2x-3)\, dx=[t=2x-3\;,\; dt=d(2x-3)=(2x-3)'\, dx=2\, dx,\\\\dx=\frac{dt}{2}\, ]=\frac{1}{2}\cdot \int t\cdot dt=\frac{1}{2}\cdot \frac{t^2}{2}+C=\frac{1}{4}\cdot (2x-3)^2+C;\; \; \to \\\\\int _{-3}^2(2x-3)\, dx=\frac{1}{4}\cdot (2x-3)^2\, |_{-3}^2=\frac{1}{4}\cdot (1^2-(-9)^2)=\\\\=\frac{1}{4}\cdot (1-9)=-2[/latex]
Можно воспользоваться формулой, что я считаю более квалифицированным ответом, так как если линейная функция будет не в 1 степени , а например, в 100-ой, то представить в виде многочлена такое выражение будет почти невозможно.Фактически формула выводится с помощью подстановки ( или с помощью подведения под знак дифференциала). Для степенной функции формула будет выглядеть так:
[latex]\int (ax+b)^{n}dx=\frac{1}{a}\cdot \frac{(ax+b)^{n+1}}{n+1}+C[/latex]
Как видите, из этих соображение ответ во 2 пункте у вас неверен, так как там неправильно найдена первообразная от степенной функции (в основании которой находится линейная функция).
Не нашли ответ?
Похожие вопросы