Вычислить интеграл, пользуясь формулой Ньютона-Лейбница (подробно) [latex] \int\limits^1_02 x+1/ \sqrt{x^2+2x+2} } \, dx [/latex]

Формулы: [latex]1) \int\limits { \frac{du}{ \sqrt{u} } } \, dx =2 \sqrt{u} +C \\ \\ 2)\int\limits { \frac{du}{ \sqrt{u^2+k} } } \, dx =ln|u+\sqrt{u^2+k} |+C[/latex] [latex] \int\limits { \frac{2x+1}{ \sqrt{ x^{2} +2x+2} } } \, dx = \int\limits { \frac{2x+2-1}{ \sqrt{ x^{2} +2x+2} } } \, dx=\int\limits {( \frac{2x+2}{ \sqrt{ x^{2} +2x+2} } } \, \ - \frac{1}{ \sqrt{ x^{2} +2x+2} } })dx = \\ \\ \int\limits { \frac{2x+2}{ \sqrt{ x^{2} +2x+2} } } \,dx \ - \int\limits \frac{1}{ \sqrt{ x^{2} +2x+2} } }\, dx .[/latex] [latex]1) \ \int\limits { \frac{2x+2}{ \sqrt{ x^{2} +2x+2} } } \,dx \\ \\ \sqrt{u} = \sqrt{ x^{2} +2x+2} \\ du=(x^{2} +2x+2)'=2x+2[/latex] Подходит первая формула: [latex]\ \int\limits { \frac{2x+2}{ \sqrt{ x^{2} +2x+2} } } \,dx=2\sqrt{ x^{2} +2x+2}+C \\ \\ \\ 2)\int\limits \frac{1}{ \sqrt{ x^{2} +2x+2} } }\, dx=\int\limits \frac{1}{ \sqrt{ x^{2} +2x+1+1} } }\, dx=\int\limits \frac{1}{ \sqrt{ (x+1)^2+1} } }\, dx \\ \\ u=x+1 \\ du=(x+1)'=1 \\ [/latex] Подходит вторая формула: [latex]\int\limits \frac{1}{ \sqrt{ (x+1)^2+1} } }\, dx =ln|x+1+\sqrt{ (x+1)^2+1}|+C[/latex] [latex]\int\limits^1_0 { \frac{2x+1}{ \sqrt{ x^{2} +2x+2} } } \, dx = 2\sqrt{ x^{2} +2x+2} \ -ln|x+1+\sqrt{ (x+1)^2+1}|\ \ |^1_0 \\ \\ 2\sqrt{ 1^{2} +2*1+2} \ -ln|1+1+\sqrt{ (1+1)^2+1}| - \\ \\ -( 2\sqrt{ 0^{2} +2*0+2} \ -ln|0+1+\sqrt{ (0+1)^2+1}|)= \\ \\ 2 \sqrt{5} -ln|2+ \sqrt{5} |-(2 \sqrt{2} -ln|1+ \sqrt{2} |)= \\ \\ 2 \sqrt{5} -ln(2+ \sqrt{5} )-2 \sqrt{2}+ln(1+ \sqrt{2} )=2( \sqrt{5} - \sqrt{2} )+ln \frac{1+ \sqrt{2} }{2+ \sqrt{5} } [/latex]